命題１９

　相似な三角形は互いに対して対応する辺の２乗の比である。

　ABCとDEFをBにおける角がEにおける角と等しく、ABはBCに対してDEはEFに対し、BCはEFに対する、つまり、BCがEFに対応する三角形とせよ。definition�X．１１

　三角形ABCが三角形DEFに対してもつ比は、BCがEFに対してもつ比の2乗であると主張する。

　BCとEFに対して、第３の比例項BGをとると、BCはEFに対してEFはBGに対する。proposition�Y．１１

　また、AGを結ぶ。

　ABはBCに対して、DEはEFに対するので、それゆえに、いれかえてABはDEに対して、BCはEFに対する。proposition�X．１６

　しかし、BCはEFに対して、EFはBGに対する。proposition�X．１１

　それゆえに、ABはまたDEに対して、EFはBGに対する。

　それゆえに、三角形ABGとDEFにおいて、等しい角のまわりの辺は相互に比例する。

　しかし、１つの角が１つの角と等しく、等しい角のまわりの辺が相互に比例する三角形は等しい。それゆえに、三角形ABGは三角形DEFに等しい。proposition�Y．１５

　今、BCはEFに対してEFはBGに対し、また、もし３本の線分が比例するならば、第１は第３に対して、第２に対する比の２乗の比をもつので、それゆえに、BCはBGに対して、BCがEFに対する比の２乗の比をもつ。definition�X．９

　しかし、BCはBGに対して、三角形ABCは三角形ABGである。proposition�Y．１

　それゆえに、三角形ABCもまた三角形ABGに対して、BCがEFに対する比の２乗の比をもつ。proposition�X.１１

　しかし、三角形ABGは三角形DEFと等しい。

　それゆえに、三角形ABCもまた三角形DEFに対して、BCがEFに対する比の２乗の比をもつ。proposition�X．７

　それゆえに、相似な三角形は互いに対して対応する辺の２乗の比である。

証明終了

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